Математика пчелиной ячейки

Пчелы — удивительное творение природы: миллионы лет они строят ячейки сотов правильной шестиугольной формы (были найдены окаменелые останки пчелы возрастом в 100 миллионов лет). Все ячейки имеют совершенно одинаковый размер.

Если разрезать пчелиные соты плоскостью, перпендикулярной их ребрам, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников, уложенных в виде паркета. Возникает вопрос: «Почему пчелы строят соты именно так, почему они предпочли сеть правильных шестиугольников, а не правильных треугольников или квадратов, ведь их, казалось бы, гораздо проще сконструировать?»

Выясним, какими правильными многоугольниками можно заполнить плоскость так, чтобы не было пропусков. Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий: треугольник, квадрат и шестиугольник.

В каждом из этих замощений любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо только общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек. Замощения плоскости многоугольниками, удовлетворяющие этому требованию, называются паркетами. Убедиться в том, что никакой другой правильной многоугольник паркета не образует, можно с помощью формулы суммы внутренних углов выпуклого n-угольника: Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна :

где n — число сторон многоугольника. Сумма углов правильных n-угольников, сходящихся в одной вершине паркета, равна 360.

Тогда:

где k — число углов, сходящихся в одной вершине.

Получается, что заполнить плоскость без пропусков можно, используя или правильные треугольники, квадраты, или правильные шестиугольники. В паркете, составленном из правильных треугольников, в каждой точке сходятся шесть треугольников, из квадратов — четыре квадрата, из шестиугольников — три шестиугольника. Поэтому можно сделать вывод, что «мудрые пчелы» экономят воск и время для построения сотов в форме правильных треугольников.

Также необходимо отметить, что из трех правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Стало быть, мудрые пчелы, и здесь экономят воск и время для построения сот.

Исследуем дальше строение «пчелиной ячейки». Соты в улье свешиваются сверху вниз наподобие занавесок: пчелы прикрепляют их к потолку смесью воска и пчелиного клея (прополиса). «Пчелиные ячейки» представляют собой геометрически правильные шестигранные многогранники. Ячейки уложены в пласты и соприкасаются общими донышками. Но донышки ячеек не плоские, а представляют части трехгранных углов, гранями которых являются ромбы. Горизонтальный диаметр пчелиной ячейки — 5,3 — 5,7 мм.

Пчелиные соты состоят из ячеек в виде десятигранников. Представить себе такую ячейку можно следующим образом. Возьмем правильную шестиугольную призму (смотри рисунок) и через каждую из трех диагоналей верхнего основания B1D1, D1F1 и F1B1 и точку S, взятую на оси симметрии призмы, проведем плоскости.

Эти плоскости и будут ограничивать сверху ячейку. Таким образом, ячейка ограничена снизу правильным шестиугольником, с боков — шестью равными прямоугольными трапециями и сверху — тремя ромбами.

Объем ячейки при этом равен объему исходной призмы. Понять, что это действительно так, можно следующими рассуждениями. Объем ячейки равен объему исходной призмы, потому что, если посмотреть на рисунок, то что мы отрезали от призмы ( голубую пирамидку ) мы добавили пирамидку такого же объема сверху (зеленую пирамидку). И так еще два раза (для каждой из трех выбранных диагоналей. Всё это в силу симметрии фигуры.

Существует интересный вопрос:
Каким должен быть плоский угол при вершине S ячейки, чтобы расход воска на изготовление был наименьшим ?

Иными словами, каким должно быть положение точки S на оси симметрии призмы, чтобы площадь поверхности ячейки была наименьшей?

Для ответа на вопрос, можно ввести некоторые обозначения (смотри рисунок), при этому за переменную x принять расстояние x = SO1. Выразим через постоянные величины и через x площадь поверхности ячейки.

Непосредственные измерения угла подтверждают полученный результат. Пчела оказывается хорошим эмпирическим «математиком» :)

После нахождения оптимального значения x, оценки плоского угла при вершине S, можно оценить экономию воска на строительство данной ячейки.

Хоть потребление воска зависит от параметров a и h, в любом случае экономия более 5%.

Если же взять более реальные параметры пчелиных ячеек, к примеру, a = 5 мм, h = 15 мм, то получим экономию в 2,32 %. Более впечатляюще эту экономию можно выразиться так: из воска, сэкономленного на устройстве 54 ячеек, пчелы могут дополнительно построить еще одну ячейку. При постройке 100 ячеек экономиться около 15 см² площади поверхности. Экономия значительная.

Итак, при условии одинаковой площади данных многоугольников наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Таким образом, только используя данную фигуру в построении сотов, пчелы максимально сокращают расход воска и времени.

Пчёлы строят донышки своих ячеек в форме части трёхгранного угла, в качестве граней которого служат ромбы. Общая часть соприкосновения ячеек в улье является ромбом.

Объёмы многогранника «пчелиной ячейки» и правильной шестиугольной призмы равны, в то время, как площадь поверхности, многогранника «пчелиной ячейки» меньше, что выгодно с экономической точки зрения.

Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет, поскольку они заполняют пространство так, что не остаётся просветов.

Полученные выводы подтверждают выдвинутую гипотезу: шестигранная «пчелиная ячейка» — идеальная геометрическая форма для максимального использования единиц площади и объема: вмещает максимальное количество меда, и в то же время, для ее создания требуется минимальное количество воска. То есть пчела использует наиболее выгодную из всевозможных форм.

Принцип построения пчелиных сотов широко используется в архитектурных ансамблях всего мира, в строительстве гигантских сооружений, Мобильные, или сотовые, телефоны работают, благодаря созданию особой сотовой сети. Сеть создана по принципу устройства пчелиных сот.

Так с помощью геометрии, математического анализа и математического моделирования мы прикоснулись к тайне математических шедевров из воска, еще раз убедившись во всесторонней развитости математики.